Système - D'après bac ES, spé maths, Polynésie 2017

Énoncé

Alex a téléchargé sur son smartphone un jeu lui permettant de combattre des animaux virtuels par localisation GPS. Chaque jour, il retrouve d'autres joueurs dans le parc de la ville dans le but de comparer le nombre de créatures qu'ils ont combattues.

Le premier jour, 8 personnes se sont retrouvées dans le parc. Le deuxième, on comptait 25 personnes et le troisième jour, 80 personnes se sont retrouvées dans le parc.

Soit  \(f\)  la fonction définie par  \(f(x)=ax²+bx+c\)  où  \(a, b\)  et  \(c\)  sont trois nombres réels et  \(x\)  un nombre entier compris entre 1 et 10. On admet que la fonction  \(f\)  modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dans le parc le  \(x\) -ième jour.

1. Traduire l'énoncé par un système de trois équations à trois inconnues  \(a, b\)  et  \(c.\)

2. Donner une écriture matricielle de ce système sous la forme  \(AX=B\)  avec  \(X\) la matrice colonne  \(X=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) .

3. Soit la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1 \end{pmatrix}\) .
Calculer le produit  \(MA\) .
Que représente la matrice  \(M\)  pour la matrice  \(A\)  ?

4. À l'aide d'un calcul matriciel, déterminer les valeurs des nombres  \(a, b\)  et  \(c\) .

5. Le parc de la ville a une capacité d'accueil de 2500 personnes. Selon ce modèle, le parc risque-t-il de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours ? Justifier la réponse.